একটি গোলাকার মুদ্রা টেবিলে রাখা হলো।এর চারপাশে কতটি মুদ্রা রাখলে তারা মাঝের মুদ্রাটি এবং দুপাশের মুদ্রাগুলোকে স্পর্শ করতে পারবে?

যখন একই ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলাকার মুদ্রা একটি কেন্দ্রীয় মুদ্রাকে স্পর্শ করে তার চারপাশে এমনভাবে রাখা হয় যেন প্রতিটি পার্শ্ববর্তী মুদ্রাও একে অপরকে স্পর্শ করে, তখন এই সমস্যাটি একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক বিন্যাসের সাথে সম্পর্কিত।

ধরা যাক, প্রতিটি মুদ্রার ব্যাসার্ধ হলো \(r\)।

১. কেন্দ্রীয় মুদ্রার সাথে পার্শ্ববর্তী প্রতিটি মুদ্রার কেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব হবে \(r + r = 2r\)।

২. দুটি পার্শ্ববর্তী মুদ্রা একে অপরকে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্বও হবে \(r + r = 2r\)।

৩. এখন, কেন্দ্রীয় মুদ্রার কেন্দ্র এবং দুটি সংলগ্ন পার্শ্ববর্তী মুদ্রার কেন্দ্র বিবেচনা করুন। এই তিনটি কেন্দ্র মিলে একটি ত্রিভুজ গঠন করে। এই ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে \(2r\)।

৪. যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান (\(2r\)), এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ (equilateral triangle)।

৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ \(60^\circ\) হয়। সুতরাং, কেন্দ্রীয় মুদ্রার কেন্দ্রে দুটি পার্শ্ববর্তী মুদ্রার কেন্দ্র দ্বারা সৃষ্ট কোণটি হবে \(60^\circ\)।

৬. একটি পূর্ণ বৃত্ত \(360^\circ\) হয়। এই \(360^\circ\) কোণকে \(60^\circ\) করে ভাগ করলে আমরা পার্শ্ববর্তী মুদ্রার সংখ্যা পাই।

সুতরাং, পার্শ্ববর্তী মুদ্রার সংখ্যা = \(\frac{360^\circ}{60^\circ} = 6\) টি।

এ কারণে, একটি কেন্দ্রীয় মুদ্রার চারপাশে ৬টি মুদ্রা রাখলে তারা মাঝের মুদ্রাটি এবং দুপাশের মুদ্রাগুলোকে স্পর্শ করতে পারবে।